In probability theory and statistics, the moment-generating function of a random variable X is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
wherever this expectation exists.
The moment-generating function is so called because, if it exists on an open interval around t = 0, then it is the ordinary generating function of the moments of the probability distribution:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
If the moment generating function is defined on such an interval, then it uniquely determines a probability distribution.
A key problem with moment-generating functions is that moments and the moment-generating function may not exist, as the integrals need not converge. By contrast, the characteristic function always exists (because the integral is a bounded function on a space of finite measure), and thus may be used instead.
More generally, where
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
, an n-dimensional random vector, one uses
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
instead of tX:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Calculation
If X has a continuous probability density function f(x) then the moment generating function is given by
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where mi is the ith moment . MX( − t) is just the two-sided Laplace transform of f(x).
Regardless of whether the probability distribution is continuous or not, the moment-generating function is given by the Riemann-Stieltjes integral
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
wherever this expectation exists.
The moment-generating function is so called because, if it exists on an open interval around t = 0, then it is the ordinary generating function of the moments of the probability distribution:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
If the moment generating function is defined on such an interval, then it uniquely determines a probability distribution.
A key problem with moment-generating functions is that moments and the moment-generating function may not exist, as the integrals need not converge. By contrast, the characteristic function always exists (because the integral is a bounded function on a space of finite measure), and thus may be used instead.
More generally, where
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
, an n-dimensional random vector, one uses
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
instead of tX:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Calculation
If X has a continuous probability density function f(x) then the moment generating function is given by
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where mi is the ith moment . MX( − t) is just the two-sided Laplace transform of f(x).
Regardless of whether the probability distribution is continuous or not, the moment-generating function is given by the Riemann-Stieltjes integral
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where F is the cumulative distribution function.
If X1, X2, ..., Xn is a sequence of independent (and not necessarily identically distributed) random variables, and
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where the ai are constants, then the probability density function for Sn is the convolution of the probability density functions of each of the Xi and the moment-generating function for Sn is given by
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
For vector-valued random variables X with real components, the moment-generating function is given by
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where t is a vector and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the dot product.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Relation to other functions
Related to the moment-generating function are a number of other transforms that are common in probability theory:
characteristic function
The characteristic function [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is related to the moment-generating function via [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] the characteristic function is the moment-generating function of iX or the moment generating function of X evaluated on the imaginary axis.
cumulant-generating function
The cumulant-generating function is defined as the logarithm of the moment-generating function; some instead define the cumulant-generating function as the logarithm of the characteristic function, while others call this latter the second cumulant-generating function.