Probability mass function
In general, if the random variable K follows the binomial distribution with parameters n and p, we write K ~ B(n, p). The probability of getting exactly k successes in n trials is given by the probability mass function:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
for k = 0, 1, 2, ..., n and where
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is the binomial coefficient (hence the name of the distribution) "n choose k", also denoted C(n, k), nCk, or nCk. The formula can be understood as follows: we want k successes (pk) and n − k failures (1 − p)n − k. However, the k successes can occur anywhere among the n trials, and there are C(n, k) different ways of distributing k successes in a sequence of n trials.
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
So, one must look to a different k and a different p (the binomial is not symmetrical in general). However, its behavior is not arbitrary. There is always an integer m that satisfies
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
As a function of k, the expression ƒ(k; n, p) is monotone increasing for k < m and monotone decreasing for k > m, with the exception of one case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two maximum values for m = (n + 1)p and m − 1. m is known as the most probable (most likely) outcome of Bernoulli trials. Note that the probability of it occurring can be fairly small.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]In general, if the random variable K follows the binomial distribution with parameters n and p, we write K ~ B(n, p). The probability of getting exactly k successes in n trials is given by the probability mass function:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
for k = 0, 1, 2, ..., n and where
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is the binomial coefficient (hence the name of the distribution) "n choose k", also denoted C(n, k), nCk, or nCk. The formula can be understood as follows: we want k successes (pk) and n − k failures (1 − p)n − k. However, the k successes can occur anywhere among the n trials, and there are C(n, k) different ways of distributing k successes in a sequence of n trials.
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
So, one must look to a different k and a different p (the binomial is not symmetrical in general). However, its behavior is not arbitrary. There is always an integer m that satisfies
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
As a function of k, the expression ƒ(k; n, p) is monotone increasing for k < m and monotone decreasing for k > m, with the exception of one case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two maximum values for m = (n + 1)p and m − 1. m is known as the most probable (most likely) outcome of Bernoulli trials. Note that the probability of it occurring can be fairly small.
Cumulative distribution function
The cumulative distribution function can be expressed as:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the "floor" under x, i.e. the greatest integer less than or equal to x.
It can also be represented in terms of the regularized incomplete beta function, as follows:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
For k ≤ np, upper bounds for the lower tail of the distribution function can be derived. In particular, Hoeffding's inequality yields the bound
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
and Chernoff's inequality can be used to derive the bound
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Mean, variance, and mode
If X ~ B(n, p) (that is, X is a binomially distributed random variable), then the expected value of X is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
and the variance is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
This fact is easily proven as follows. Suppose first that we have exactly one Bernoulli trial. We have two possible outcomes, 1 and 0, with the first having probability p and the second having probability 1 − p; the mean for this trial is given by μ = p. Using the definition of variance, we have
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Now suppose that we want the variance for n such trials (i.e. for the general binomial distribution). Since the trials are independent, we may add the variances for each trial, giving
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The mode of X is the greatest integer less than or equal to (n + 1)p; if m = (n + 1)p is an integer, then m − 1 and m are both modes.
Algebraic derivations of mean and variance
We derive these quantities from first principles. Certain particular sums occur in these two derivations. We rearrange the sums and terms so that sums solely over complete binomial probability mass functions (pmf) arise, which are always unity
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We apply the definition of the expected value of a discrete random variable to the binomial distribution
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The first term of the series (with index k = 0) has value 0 since the first factor, k, is zero. It may thus be discarded, i.e. we can change the lower limit to: k = 1
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We've pulled factors of n and k out of the factorials, and one power of p has been split off. We are preparing to redefine the indices.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We rename m = n − 1 and s = k − 1. The value of the sum is not changed by this, but it now becomes readily recognizable
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The ensuing sum is a sum over a complete binomial pmf (of one order lower than the initial sum, as it happens). Thus
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[2]
Variance
It can be shown that the variance is equal to (see: Computational formula for the variance):
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
In using this formula we see that we now also need the expected value of X 2:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We can use our experience gained above in deriving the mean. We know how to process one factor of k. This gets us as far as
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
(again, with m = n − 1 and s = k − 1). We split the sum into two separate sums and we recognize each one
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The first sum is identical in form to the one we calculated in the Mean (above). It sums to mp. The second sum is unity.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Using this result in the expression for the variance, along with the Mean (E(X) = np), we get
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
